Table des matières
CHAPITRE 1 : Compléments d’algèbre linéaire – Page 3
1.1 Espaces vectoriels – p.4
1.1.1 Familles libres, liées, génératrices
1.1.2 Sommes, sommes directes
1.2 Applications linéaires – p.9
1.2.1 Théorème d’isomorphisme
1.2.2 Interpolation de Lagrange
1.2.3 Théorème du rang
1.3 Dualité – p.13
1.3.1 Généralités
1.3.2 Hyperplans
1.3.3 Bases duales
1.4 Calcul matriciel – p.22
1.4.1 Trace
1.4.2 Blocs
CHAPITRE 2 : Déterminants – Page 35
2.1 Le groupe symétrique – p.36
2.1.1 Structure de Sn
2.1.2 Transpositions
2.1.3 Cycles
2.2 Applications multilinéaires – p.41
2.2.1 Généralités
2.2.2 Applications multilinéaires alternées
2.3 Déterminant d’une famille de n vecteurs – p.43
2.3.1 Espace n(E)
2.3.2 Propriétés
2.4 Déterminant d’un endomorphisme – p.45
2.5 Déterminant d’une matrice carrée – p.46
2.6 Développement par rapport à une rangée – p.49
2.6.1 Cofacteurs et mineurs
2.6.2 Comatrice
2.7 Calcul des déterminants – p.55
2.7.1 Matrices triangulaires
2.7.2 Manipulations lignes/colonnes
2.7.3 Cas n=2, n=3
2.7.4 Déterminant de Vandermonde
2.7.5 Matrices triangulaires par blocs
2.8 Orientation d’un espace vectoriel réel – p.64
2.9 Supplément : Rang et sous-matrices – p.65
2.10 Systèmes affines – p.68
2.10.1 Position du problème
2.10.2 Cas de Cramer
CHAPITRE 3 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées – Page 73
3.1 Éléments propres – p.74
3.2 Polynôme caractéristique – p.79
3.3 Diagonalisabilité – p.86
3.4 Trigonalisation – p.98
3.5 Polynômes d’endomorphismes / matrices – p.106
3.5.1 Généralités
3.5.2 Polynômes annulateurs
3.5.3 Théorème de Cayley-Hamilton
3.5.4 Idéaux de K[X]
3.6 Applications de la diagonalisation – p.119
3.6.1 Puissances de matrices
3.6.2 Suites récurrentes linéaires simultanées
3.6.3 Suites récurrentes à coefficients constants
📌 Problèmes – p.126
CHAPITRE 4 : Espaces préhilbertiens réels – Page 129
4.1 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques – p.130
4.1.1 Généralités
4.1.2 Interprétation matricielle
4.2 Espaces euclidiens – p.137
4.2.1 Produit scalaire
4.2.2 Orthogonalité
4.3 Endomorphismes remarquables – p.146
4.3.1 Endomorphismes symétriques
4.3.2 Endomorphismes orthogonaux
4.4 Adjoint – p.158
4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme
4.4.2 Cas remarquables
4.5 Réduction des matrices symétriques réelles – p.163
4.5.1 Théorème fondamental
4.5.2 Réduction simultanée
4.5.3 Positivité
📌 Problème – p.186
CHAPITRE 5 : Espaces préhilbertiens complexes – Page 187
5.1 Formes sesquilinéaires – p.188
5.1.1 Généralités
5.1.2 Cas de dimension finie
5.2 Espaces hermitiens – p.193
5.2.1 Produit scalaire hermitien
5.2.2 Orthogonalité
CHAPITRE 6 : Géométrie – Page 203
6.1 Courbes du plan – p.204
6.1.1 Enveloppe de droites
6.1.2 Abscisse curviligne & rayon de courbure
6.1.3 Centre de courbure
6.1.4 Développée
6.1.5 Développantes
6.2 Courbes de l’espace – p.227
6.2.1 Généralités
6.2.2 Tangente
6.2.3 Abscisse curviligne