Un regard analytique et géométrique
enrichi de 230 exercices corrigés
Depuis le siècle des Lumières et la formalisation du principe de moindre action, l’analyse complexe en une variable n’a cessé de nourrir l’évolution des idées en mathématiques, dans tous les domaines : géométrie, analyse, théorie des nombres, ingénierie mathématique, et théorie de l’information.
À une époque où les calculateurs n’existaient pas encore, cette branche a joué à la fois le rôle de fil directeur unificateur et celui d’un précieux outil de calcul.
Objectif de l’ouvrage
Ce livre, destiné à un public de niveau Master 1, a pour ambition :
- de présenter les multiples facettes de l’analyse complexe (sans prétention d’exhaustivité),
- de mettre en lumière les aspects transversaux de la discipline,
- et de suggérer un aperçu du riche champ d’applications potentielles.
Une introduction à l’analyse harmonique en deux variables, pendant réel de l’analyse complexe, vient accompagner ce parcours.
Approche choisie
L’ouvrage s’appuie sur :
- des ouverts du plan complexe,
- des surfaces de Riemann compactes simples : sphère de Riemann, droite projective complexe, tore, courbes elliptiques,
- les fonctions qui y sont définies.
Il vise à introduire, à travers ces outils, les concepts mathématiques fondamentaux développés depuis Euler et Gauss, tout au long du XIXe siècle. Ces mêmes concepts ont été naturellement étendus au cadre de plusieurs variables complexes dès le début du XXe siècle, avec les travaux de Poincaré, Élie Cartan, de Rham, André Weil, etc.
L’approche est à la fois analytique et géométrique, avec l’objectif de préparer le lecteur à explorer la géométrie et l’analyse complexes (en une ou plusieurs variables).
Prérequis
Ce manuel suppose une bonne maîtrise de :
- Séries de fonctions : séries entières et séries de Fourier,
- Calcul différentiel et intégral (au sens de Riemann),
- Quelques bases en géométrie différentielle : sous-variétés, champs de vecteurs, formes différentielles.
Origine et inspiration du cours
Le contenu découle d’un enseignement de master dispensé sur plusieurs années. Il s’est enrichi au fil du temps de :
- recherches personnelles de l’auteur,
- collaborations avec des collègues chercheurs comme Roger Gay, Carlos Berenstein, Mats Andersson, Jan Erik Björk, Mikael Passare, August Tsikh.
Les ouvrages de référence ayant influencé l’auteur incluent :
- [BG] Carlos Berenstein & Roger Gay,
- [AM] Éric Amar & Étienne Matheron,
- [Kra] Steven Krantz,
- [Nar] Raghavan Narasimhan,
- ainsi que les classiques de Ahlfors, Conway, Duren, Pommerenke, Rudin, Valiron, etc.
Exercices et pratique
L’ouvrage propose 230 exercices entièrement corrigés, répartis sur les quatre parties du cours. Ils jouent un rôle fondamental :
- approfondissement de résultats comme le théorème de Picard, les fonctions gamma, zêta de Riemann, etc.,
- application de concepts via des outils comme Maple ou MATLAB,
- certains exercices sont de niveau avancé et présentés sous forme de problèmes guidés, offrant une progression pas à pas.
De nombreux exercices sont issus de l’expérience d’enseignement de l’auteur à Bordeaux, en collaboration avec :
- Karim Kellay, Chantal Ménini, Nikolai Nikolski, Pierre Parent, Mohamed Zarrabi, etc.
- Merci particulier à Éric Charpentier, Ahmed Sebbar, ainsi qu’à tous les étudiants ayant enrichi ce cours par leurs retours critiques et participations actives.
Limites et ouverture
Cet ouvrage n’est pas exhaustif. Certaines thématiques fondamentales (comme la construction explicite de formes méromorphes, la théorie des formes modulaires, le théorème de la monodromie…) ne sont qu’à peine esquissées, faute de place.
Malgré cela, l’auteur espère qu’il servira de porte d’entrée vers le monde fascinant de l’analyse et de la géométrie complexes, notamment en plusieurs variables, et incitera à l’exploration approfondie de ces domaines.