Ce cours couvre les fondements et les développements avancés de l’analyse complexe, en insistant sur la rigueur mathématique, les propriétés analytiques des fonctions d’une variable complexe, ainsi que les théorèmes classiques de la discipline. Il est structuré autour de 15 chapitres :
Chapitre 1 : Séries numériques
- Étude des suites et séries réelles.
- Convergence absolue, séries alternées, et tests de convergence (Cauchy, d’Alembert).
- Lien entre intégrales et séries.
Chapitre 2 : Suites et séries de fonctions
- Convergence simple, uniforme, normale.
- Impact sur la continuité, dérivabilité, et intégrabilité.
Chapitre 3 : Séries entières
- Rayon de convergence.
- Propriétés analytiques : dérivation, intégration terme à terme.
- Exemples classiques : exponentielle, fonctions trigonométriques et hyperboliques.
Chapitre 4 : Fonctions analytiques
- Définition des fonctions analytiques.
- Prolongement analytique et propriétés des zéros.
Chapitre 5 : Fonctions holomorphes
- Conditions de Cauchy-Riemann.
- Déterminations continues du logarithme et autres fonctions multivaluées.
Chapitre 6 : Analyticité et holomorphie
- Intégration complexe, existence de primitives, fonctions inverses.
- Liens entre holomorphie et analyticité.
Chapitre 7 : Propriétés des fonctions holomorphes
- Inégalités de Cauchy, principe du maximum, lemme de Schwarz.
- Séries et intégration holomorphe.
Chapitre 8 : Fonctions méromorphes
- Étude des singularités isolées.
- Théorèmes puissants : résidus, indice, Rouché, inversion locale.
Chapitre 9 : Produits infinis
- Convergence des produits infinis de nombres et fonctions complexes.
- Application à la factorisation.
Chapitre 10 : Homotopie et holomorphie
- Homotopie, simple connexité, intégration le long d’un arc.
- Séries de Laurent et formules de Cauchy.
Chapitre 11 : Holomorphie et parties localement finies
- Produit canonique de Weierstrass.
- Applications à la structure des fonctions analytiques.
Chapitre 12 : Représentation conforme
- Conservation des angles et isomorphismes conformes.
- Bases topologiques nécessaires à la compréhension des représentations.
Chapitre 13 : Quelques grands classiques
- Théorèmes de Picard et de Runge : résultats fondamentaux en analyse complexe.
Chapitre 14 : Fonctions harmoniques
- Lien entre fonctions holomorphes et harmoniques.
- Représentation intégrale des fonctions harmoniques.
Chapitre 15 : Quelques calculs d’intégrales
- Méthodes classiques de calcul d’intégrales complexes.
- Lemmata et astuces utiles.