CAPES / AGREG COURS D’ALGEBRE Daniel Perrin

Table des matières

• Présentation de la collection
  • Avant-propos
  • Alphabet grec
  • Notations
• Chapitre I SÉRIES NUMÉRIQUES
  • 1. Séries à terme réel ou complexe
    • 1.1 Définitions
    • 1.2 Une condition nécessaire de convergence
    • 1.3 Espace vectoriel des séries convergentes
    • 1.4 Suite de Cauchy
  • 2. Séries à termes positifs
    • 2.1 Critères de comparaison
    • 2.2 Comparaison d’une série et d’une intégrale
  • 3. Convergence absolue
    • 3.1 Critères de convergence absolue
    • 3.2 Somme et produit de série absolument convergentes
  • 4. Semi-convergence
    • 4.1 Critère d’Abel
    • 4.2 Séries alternées
    • 4.3 Exemples
  • 5. Convergence commutative
    • 5.1 Sommation par paquets
  • 6. Série à terme dans un espace vectoriel normé
  • 7. Produits infinis
  • 8. Solutions des exercices
• Chapitre II SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
  • 1. Suites de fonctions
    • 1.1 Convergence simple
    • 1.2 Convergence uniforme
    • 1.3 Interprétation graphique de la convergence uniforme
    • 1.4 Critères de convergence uniforme
    • 1.5 Implications entre les types de convergence
    • 1.6 Limite d’une suite de fonctions continues
    • 1.7 Limite d’une suite de fonctions dérivables
    • 1.8 Limite d’une suite de fonctions intégrales
  • 2. Séries de fonctions
    • 2.1 Définitions
    • 2.2 Différents types de convergence
    • 2.3 Implications entre les types de convergence
    • 2.4 Critères de convergence des séries de fonctions
    • 2.5 Propriétés de la somme d’une série convergente
    • 2.6 Exemples
  • 3. Produit infini
    • 3.1 Logarithme complexe
    • 3.2 Produit infini
    • 3.3 Condition nécessaire de convergence
    • 3.4 Liaison entre série et produit infini
    • 3.5 Produit infini absolument convergent et semi-convergent
    • 3.6 Produit infini de fonctions
• ANNEXE. Topologies de R et de C
  • 4.1 Norme
  • 4.2 Ouvert et fermés
  • 4.3 Bornés
  • 4.4 Compacité
  • 4.5 Exemples de compacts
  • 4.6 Continuité
  • 4.7 Espace complet
  • 5. Exercices
    • 5.1 Suites de fonctions
    • 5.2 Séries de fonctions
  • 6 Solutions des exercices
    • 6.1 Suites de fonctions
    • 6.2 Séries de fonctions
• Chapitre III INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
  • 1. Convergence de l’intégrale
    • 1.1 Rappel de la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann
    • 1.2 Intégrale généralisée ou impropre
  • 2. Critères de convergence
  • 3. Critères de Cauchy
    • 3.1 Critères de convergence pour les fonctions positives
    • 3.2 Convergence absolue
    • 3.3 Comparaison d’une série et d’une intégrale
    • 3.4 Semi-convergence
  • 4. Solutions des exercices
• Chapitre IV FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE INTÉGRALE
  • 1. Intégrale définie
    • 1.1 Continuité
    • 1.2 Dérivabilité
    • 1.3 Intégrabilité
  • 2. Différents types de convergence d’intégrales généralisées
    • 2.1 Critères و implications entre les convergences
    • 2.2 Critères de convergence normale ou convergence dominée
    • 2.3 Exemples
  • 3. Continuité d’une fonction définie par une intégrale généralisée
  • 4. Dérivabilité
  • 5. Intégrale généralisée et série
  • 6. Exercices
  • 7. Solutions des exercices
• Index terminologique
• Formulaire de trigonométrie