Table des matières – Tome 1
Avant-propos
1. Compléments de topologie
1.1 Topologie générale ………………………………………. 25
1.2 Quelques espaces topologiques …………………….. 27
1.3 Quelques homéomorphismes ……………………….. 28
1.4 Topologie quotient et recollements ………………….. 30
1.5 Actions de groupes ……………………………………. 36
1.6 Homotopie …………………………………………….. 40
1.7 Groupe fondamental ………………………………… 42
1.8 Revêtements ………………………………………….. 45
1.9 Variétés topologiques ……………………………….. 50
1.10 Espaces projectifs …………………………………… 52
1.11 Surfaces ……………………………………………… 55
1.12 Exercices ……………………………………………. 58
2. Compléments d’algèbre
2.1 Produit libre de groupes ……………………………. 64
2.2 Modules ………………………………………………. 64
2.3 Module des homomorphismes ……………………. 68
2.4 Applications bilinéaires …………………………….. 71
2.5 Produit tensoriel …………………………………….. 74
2.6 Extension des coefficients et adjonction ………….. 79
2.7 Catégories et foncteurs …………………………….. 80
2.8 Exercices ……………………………………………… 83
Première partie : Homologie
3. Complexes simpliciaux
3.1 Définition des complexes simpliciaux …………….. 89
3.2 Topologie des complexes simpliciaux …………….. 95
3.3 Subdivisions ………………………………………….. 99
3.4 Exercices ……………………………………………. 102
4. Homologie simpliciale
4.1 Définition de l’homologie simpliciale ……………… 105
4.2 Invariance topologique de l’homologie ………….. 120
4.3 Exercices ……………………………………………. 121
5. Complexes de chaînes algébriques I
5.1 Suite exacte longue en homologie ………………….. 124
5.2 Complexes de chaînes augmentés …………………. 130
5.3 Exercices ……………………………………………. 131
6. Propriétés de l’homologie simpliciale
6.1 Suite de Mayer-Vietoris ……………………………… 134
6.2 Suite exacte longue d’une paire et d’un triple …. 137
6.3 Excision ……………………………………………… 138
6.4 Exercices ……………………………………………. 139
7. Homologie singulière
7.1 Définition de l’homologie singulière ……………….. 142
7.2 Groupe fondamental et 1er groupe d’homologie .. 148
7.3 Homologie singulière relative ……………………….. 151
7.4 Exercices ……………………………………………. 155
8. Invariance homotopique de l’homologie singulière
8.1 Modèles acycliques ………………………………….. 158
8.2 Invariance d’homotopie …………………………….. 163
8.3 Exercices ……………………………………………. 165
9. Méthodes de calcul des groupes d’homologie singulière
9.1 Excision ……………………………………………… 167
9.2 Suite de Mayer-Vietoris ……………………………… 175
9.3 Attachement de cellules ……………………………. 182
9.4 Exercices ……………………………………………. 190
10. Applications de l’homologie
10.1 Théorèmes de Brouwer et de Jordan ……………… 194
10.2 Degrés des applications entre sphères ……………. 199
10.3 Homologie locale …………………………………… 204
10.4 Exercices ………………………………………….. 206
11. Homologie des polyèdres
11.1 Complexes simpliciaux et homologie singulière …. 210
11.2 Approximations simpliciales ……………………….. 219
11.3 Polyèdres …………………………………………… 224
11.4 Exercices …………………………………………… 231
12. Complexes de chaînes algébriques II
12.1 Produit tensoriel de complexes …………………….. 236
12.2 Résolutions ………………………………………….. 237
12.3 Théorème de Künneth (cas algébrique) ………….. 244
12.4 Extension des coefficients …………………………… 248
12.5 Exercices ……………………………………………. 250
13. Homologie à coefficients
13.1 Définitions ………………………………………….. 252
13.2 Propriétés de l’homologie à coefficients …………… 254
13.3 Coefficients universels (cas topologique) ………….. 256
13.4 Caractéristique d’Euler et nombre de Lefschetz …. 263
13.5 Exercices ……………………………………………. 270
14. Homologie d’un produit d’espaces
14.1 Le cas absolu ………………………………………… 274
14.2 Le cas relatif ………………………………………… 281
14.3 Exercices ……………………………………………. 283