Table des matières
I. Préliminaires
1. Préliminaires
1.1 Rappels de théorie des ensembles ………………………… 1
1.2 Lois internes et groupes ………………………………… 5
1.3 Anneaux ………………………………………………… 9
1.4 Corps …………………………………………………. 11
1.5 Quaternions …………………………………………… 12
1.6 Exercices ………………………………………………. 15
II. Théorie des groupes
2. Généralités sur les groupes I
2.1 Définitions …………………………………………….. 25
2.2 Homomorphismes de groupes ……………………….. 33
2.3 Groupes quotients …………………………………….. 37
2.4 Exercices ………………………………………………. 43
3. Exemples de détermination de groupes
3.1 Groupes d’ordres inférieurs à huit ……………………. 47
3.2 Groupe des unités de ℤ/nℤ …………………………….. 51
3.3 Exercices ………………………………………………. 59
4. Généralités sur les groupes II
4.1 Théorèmes d’isomorphie ……………………………… 62
4.2 Centre d’un groupe …………………………………… 69
4.3 Commutateurs …………………………………………. 70
4.4 Groupes résolubles …………………………………….. 73
4.5 Produits directs ……………………………………….. 77
4.6 Produits semi-directs ………………………………….. 79
4.7 Exercices ………………………………………………. 88
5. Groupes de permutations et groupes de symétries des polyèdres
5.1 Groupes symétriques ………………………………….. 97
5.2 Groupes alternés ………………………………………. 101
5.3 Groupes de symétries des polyèdres réguliers ………… 106
5.4 Exercices ……………………………………………… 112
6. Actions de groupes
6.1 Définitions …………………………………………….. 116
6.2 Applications à la théorie des groupes …………………. 119
6.3 Dénombrements d’objets coloriés ……………………… 122
6.4 Théorème de Sylow …………………………………… 126
6.5 Exercices ……………………………………………… 131
7. Groupes de matrices et groupes d’isométries de l’espace euclidien
7.1 Groupes linéaires ……………………………………… 138
7.2 Groupes orthogonaux et unitaires …………………….. 142
7.3 Groupes d’isométries de l’espace euclidien ……………. 151
7.4 Exercices ……………………………………………… 156
III. Théorie des anneaux
8. Généralités sur les anneaux
8.1 Définitions …………………………………………….. 167
8.2 Anneaux de polynômes à une variable ………………. 175
8.3 Anneaux de polynômes à plusieurs variables ………… 184
8.4 Exercices ……………………………………………… 189
9. Arithmétique dans les anneaux
9.1 Anneaux euclidiens et principaux …………………….. 198
9.2 Anneaux factoriels …………………………………….. 201
9.3 Arithmétique de l’anneau des entiers de Gauss ………. 207
9.4 Le Grand théorème de Fermat …………………………. 211
9.5 Factorialité des anneaux de polynômes ……………….. 213
9.6 Exercices ……………………………………………… 219
IV. Théorie des corps
10. Extensions de corps
10.1 Définitions …………………………………………….. 229
10.2 Éléments algébriques et transcendants ……………….. 235
10.3 Polynômes cyclotomiques ……………………………. 243
10.4 Corps des racines d’un polynôme …………………….. 246
10.5 Corps finis …………………………………………….. 250
10.6 Exercices ……………………………………………… 253
11. Constructions à la règle et au compas
11.1 Lien avec les extensions de corps …………………….. 257
11.2 Applications ………………………………………….. 262
11.3 Exercices ……………………………………………… 265
V. Théorie de Galois
12. Groupe de Galois et extensions galoisiennes
12.1 Groupe de Galois ……………………………………… 275
12.2 Extensions galoisiennes ………………………………. 279
12.3 Réalisation de groupes comme groupes de Galois ……. 288
12.4 Groupes de Galois des extensions de corps finis …….. 294
12.5 Démonstration de la formule du sous-corps fixe …….. 296
12.6 Exercices ……………………………………………… 298
13. Résolution des équations par radicaux
13.1 L’équation xn−a=0x^n – a = 0xn−a=0 ……………………………. 302
13.2 Équations résolubles par radicaux ……………………. 305
13.3 Équations non résolubles par radicaux ……………….. 309
13.4 Exercices ……………………………………………… 312
VI. Théorie des modules
14. Généralités sur les modules
14.1 Définitions …………………………………………….. 319
14.2 Sous-modules d’un module libre ………………………. 328
14.3 Théorème de la forme normale …………………………. 332
14.4 Exercices ……………………………………………… 338
15. Classification des modules sur un anneau principal
15.1 Décomposition selon les facteurs invariants …………… 343
15.2 Décomposition primaire d’un module …………………. 350
15.3 Invariance des idéaux élémentaires …………………….. 353
15.4 Exercices ……………………………………………… 356
16. Module associé à un endomorphisme
16.1 Facteurs invariants d’un module associé ……………….. 360
16.2 Décomposition primaire et blocs de Jordan ……………. 368
16.3 Exercices ……………………………………………… 378